Science and Nature

Epistemología de la matemática

By Alberto Campos

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Length34h 59m

About this audiobook

El presente ensayo estudia temas que cursa quien se propone optar al titulo profesional en matemática. Epistemología de la matemática es conocimiento del conocimiento matemático. La matemática estudia relaciones (cada vez mas profundas) entre elementos de naturaleza no precisada. El resultado es una multiplicidad, por lo menos, con tres dimensiones. Longitudinal: donde se estudia génesis (¿Quiénes aportaron qué?), estructura (¿hasta donde llegaron?), método (¿Cómo?), función (¿para qué?), problemas (¿Qué hay por hacer?). Transversal: donde se ensaya captar lo que la matemática es tan esencialmente que hay quienes han intentado reducirla a algunos de estos atributos: caracterización (descripción en caracteres de existencia y unicidad), combinación (conjunto de partes según los caracteres considerados), condicionalización (coordinación de enunciados antecedentes y consecuentes de acuerdo con la lógica), cualificación (exploración de propiedades involucradas en los axiomas o postulados), cuantificación (todos, todos menos algunos, algunos, al menos uno, ninguno). La matemática, como otros grandes conceptos de la cultura, no se puede abarcar en ensayos descriptivos. Vertical: donde se contempla según el troquel de los tres grandes tipos estructuras al modo Bourbaki, propiedades de operadores sobre relaciones entre elementos de naturaleza tácita.

Exploration Journey Identity

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GenreScience and Nature

Length34 hrs 59 mins

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Publish dateJan 1, 2013

LanguageSpanish

1Epistemología de la matemática

201Se tienen as´ı las desigualdades

2Epistemología de la matemática

2022 es

3XII. Heyting. Bishop. Kushner: Fundamentos de an´alisis

2032 no la

4XIII. Whitehead. Russell: Principia Mathematica.

204Escribe Euler:

5Principios

205(cosm!πx)2n

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6a. Herencia aristot´elica

206Dedekind: ¿En qu´e consiste la continuidad?

7ch. Explicaci´on

207Estructuraci´on de la topolog´ıa conjuntista

8d. Plat´on: c´omo darse cuenta de una relaci´on

208Estructura topol´ogica [46]

9h. Concepto

209Toda intersecci´on ﬁnita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

10i. Semi´otica

210Se lee en ¿Qu´e son las matem´aticas?:

11k. Principios de Hilbert

211Bourbaki explana la noci´on de continuidad en los t´erminos siguientes:

12Z × Z

212Nada menos deseable para guiarse por la intuici´on.

13Igualmente el ge´ometra Lobachevski opina que

213Funci´on de la topolog´ıa conjuntista

14q. Aserciones de Bourbaki

214Problemas de la topolog´ıa conjuntista

15r. L´ogica

215Hacia la topolog´ıa algebraica

16Longitudinal: donde los temas son: g´enesis, estructura, funci´on, m´etodos, problemas.

216dy Y (x,y)

17v. Filosof´ıas de la matem´atica

217Brouwer principia su memoria escribiendo:

18Principios

218Eq

19y. Conjetura acerca de la investigaci´on

219IX. Epistemolog´ıa de la topolog´ıa

20I. Universo matem´atico

220Hacia la topolog´ıa algebraica

21G´enesis

221X. Epistemolog´ıa de la metamatem´atica o teor´ıa de la demostraci´on

2249 Calculus of variations and

222Aportadores

2391 Game theory, economics, social and

223X. Epistemolog´ıa de la metamatem´atica

2492 Biology and other natural sciences 93 94 97 Mathematics education

224G´enesis

25G´enesis

225Estructuraci´on

26Estructuraci´on

226son recursivas primitivas.

27Suiza Escuela Polit´ecnica, de Zurich

227Teorema 7. Toda relaci´on recursiva es aritm´etica.

28M´etodo de comunicaci´on de resultados

228tanto F1,F2,...,Fn,... ad inﬁnitum como ∃x ¬F(x).

29En 1724, es creada la Academia de San Petersburgo.

229Skolem. Imposibilidad de caracterizar el sistema de los n´umeros naturales axiom´aticamente (1934).

30Breve historia de la medalla Fields

230Sin apoyarse en tal tesis, Church estableci´o:

311936 Oslo x cim

231Gentzen. Demostraci´on transﬁnita de consistencia para la teor´ıa pura de n´umeros (l936).

321954 Amsterdam xii cim

232Alfred Tarski. Formalizaci´on de la sem´antica (1936).

331958 Edimburgo xiii cim

233M´etodo

341962 Estocolmo xiv cim

234Se hace indispensable, s´ı, metamatem´aticamente, una demostraci´on de no contradicci´on.

351966 Mosc´u xv cim

235demostraci´on aunque requiere “todav´ıa muchos esfuerzos para lograr su per- feccionamiento”.

361970 Niza xvi cim

236M´etodo

371974 Vancouver xvii cim

237Funci´on

381978 Helsinki xviii cim

238Problemas

391982 Varsovia xix cim

239X. Epistemolog´ıa de la metamatem´atica

401986 Berkeley xx cim

240XI. Bourbaki: ´El´ements de math´ematique. Formalismo

411990 Kioto xxi cim

241G´enesis

421994 Zurich xxii cim

242Estructuraci´on

431998 Berl´ın xxiii cim

243Andr´e Weil comienza su intervenci´on as´ı:

442002 Beijing xxiv cim

244¿C´omo se reﬁere L´evi-Strauss al mismo episodio?

452006 Madrid xxv cim

245¿Por qu´e no intent´o en Mitolog´ıas la misma experiencia de formalizaci´on

461 Aqn.

246Grupos y ´algebras de Lie Nueve cap´ıtulos.

47N´umero de medallas Fields por especializaciones en matem´atica

247El texto bourbakista destaca en bastardilla los vocablos: conjunto, elemento, propiedad, relaci´on.

48(1982). 1983. Varsovia. xix cim. Shing-Tung Yau (1949).

248Estructuraci´on

49Rese˜nas de algunos de los otorgados son las siguientes:

249Pueden consultarse los dos trabajos siguientes, al respecto:

50Algunas otras distinciones

250M´etodo

51Premio Nevanlinna, 2010, trabajos vinculados a la inform´atica: Daniel Spielman, Estados Unidos.

251Funci´on

52n ∈ N

252El mejor comentario para la primera reﬂexi´on de Poincar´e es la segunda.

53En 1886, Lie sucedi´o a Klein en la Universidad de Leipzig.

253Funci´on

54M´etodos de b´usqueda

254Problemas

55M´etodos

255Efectivamente a continuaci´on menciona a G¨odel y a Cohen.

56Funci´on

256XI. Bourbaki: ´El´ements de math´ematique. Formalismo

57Problemas

257Opiniones acerca de ´El´ements de math´ematique

58I. Universo matem´atico

258XII. Heyting. Bishop. Kushner: Fundamentos de an´alisis constructivista

59II. Epistemolog´ıa de la matem´atica

259Constructivismo seg´un Arend Heyting

60Epistemolog´ıa

260XII. Fundamentos del an´alisis constructivista

61Estructuraci´on

261Habla el intuicionista:

62Epistemolog´ıa de los conceptos

262Constructivismo seg´un Arend Heyting

63Estructuraci´on de conceptos

263Constructivismo en Constructive Analysis seg´un Bishop y Bridges

64Funci´on de los conceptos

264Es el motivo para que Bishop reediﬁque lo ya trabajado por Brouwer

65Conclusiones

265Maniﬁesto constructivista

66Cabe, ahora, la puesta en guardia de Bourbaki:

266xmk

67M´etodo

267Sea a =

68Funci´on

268Contraposici´on entre conceptos ideal´ısticos y real´ısticos

69Logicismo. Tesis del logicismo son las siguientes:

269donde n es un n´umero natural.

70Funci´on est´etica de la matem´atica

2700, si

71Otro pasaje de Hardy es este:

271Ahora s´ı, el concepto de funci´on continua ([32], 38).

72Problemas

272Deﬁnici´on. Sean

73sabores, sonidos, olores, contactos, colores.

273a F.

74Los 23 problemas matem´aticos de Hilbert en el II CIM Par´ıs, 1900

274Constructivismo en Constructive Analysis seg´un Bishop y Bridges

75Zermelo (1904): Todo conjunto puede ser bien ordenado (supone axioma de elecci´on).

275El constructivismo de Kushner

76Comentario

276El primer paragrafo de la introducci´on termina enunciando dos c´ırculos de problemas:

772 en x.

277ii. Conceptos intuitivos como los de efectividad o de computabilidad pen-

78Comentarios

278den del concepto preciso de algoritmo.

79Comentario

279El constructivismo de Kushner

80F(p,q,z;x,y)dxdy = m´ınimo

280XII. Fundamentos del an´alisis constructivista

81II. Epistemolog´ıa de la matem´atica

281XIII. Whitehead. Russell: Principia

82Comentarios generales

282Mathematica. Logicismo

83III. Epistemolog´ıa de la l´ogica

283Prefacio

84Aportadores

284XIII. Whitehead. Russell: Principia Mathematica. Logicismo

85G´enesis

285Prefacio

86C´alculo proposicional

286¿Cu´al fue la motivaci´on para la composici´on de la obra?

87es el n´umero de columnas.

287Introducci´on 1910-1913. Cap´ıtulo 1. Exposi- ciones preliminares de ideas y de notaciones

88Se establece un sistema axiom´atico

288Introducci´on. 2. La teor´ıa de los tipos l´ogicos

89La clase universal es el complemento de la clase nula.

289Cabe insistir en el enunciado del principio del c´ırculo vicioso:

90C´alculo restringido de predicados

290En realidad, hay variedad de circunstancias.

91→ q

291El par´agrafo sexto estudia el axioma de reducibilidad.

92Es digno de subrayar el papel de la construcci´on en la demostraci´on.

292Introducci´on. 2. La teor´ıa de los tipos l´ogicos

93i. Introducci´on del signo de conjunci´on

293Parte I. L´ogica matem´atica

94Si un matem´atico quiere demostrar la implicaci´on

294Parte II. Proleg´omenos para la aritm´etica cardinal

95M´etodo. Funci´on

295Parte V. Series

96P ∩ T , eq, P P ∩ ∅ , eq, ∅

296Segunda edici´on 1927

97Problemas

297Parte VI. Cantidad

98Hay una demostraci´on m´as completa en ([292], 342-347).

298XIII. Whitehead. Russell: Principia Mathematica. Logicismo

99Acerca de las l´ogicas plurivalentes

299Dem.

100Arnold Oostra

300XIV. Epistemolog´ıa de procesos trascendentes

101III. Epistemolog´ıa de la l´ogica

301G´enesis

102Problemas

302Estructuraci´on

103IV. Epistemolog´ıa de la geometr´ıa

303π 4

104mente un esferoide.

3041 b

105X

305El t´ermino general es

106N

3061 Aqn.

107y x

3071 N

108O m´as sustancialmente:

3081 Nn!

109G´enesis

309Teorema (1929-1934. Gelfond. 1935. Schneider). Si

110El primero va a ser considerado con alg´un detenimiento.

310Teorema (resumen de Lang). Sean

111Funciones de los axiomas de ordenaci´on en Fundamen- tos de la geometr´ıa

3111 qclog log q

112K J

312entonces

113Funci´on

313Estructuraci´on

114Funci´on

3141 hcloglogh

115M´etodo

3150 0qetn

116Conjetura de geometrizaci´on, de Thurston

316M´etodo

117IV. Epistemolog´ıa de la geometr´ıa

317Trascendentes

118etx,ety

318Funci´on

119V. Epistemolog´ıa de funciones de una variable real

319Leibniz, estudioso de Descartes, fue igualmente cr´ıtico del ﬁl´osofo franc´es.

120Aportadores

320Funci´on

121M´etodo

321Problemas

122A − a < A − T.

322XIV. Epistemolog´ıa de procesos trascendentes

123rc =

323Compendio

124circunferencia por b : bc : circunferencia por f : fg.

324Problemas

125Luego enumera las derivaciones de:

325XV. Epistemolog´ıa de la aplicabilidad de la matem´atica

126En 1686, aboca problemas de curvatura de curvas y de c´ırculo osculador.

326Introducci´on

127C´alculo de secuencias

327Se destacan ideas impactantes, para luego reﬂexionar acerca de ellas.

1282 i

328Comienza resaltando dos puntos de importancia para el fondo del art´ıculo.

129Por ejemplo:

329Conclusiones de Wigner:

130M´etodo

330Se destacan algunas de sus argumentaciones y aseveraciones:

131Funci´on

331Inicialmente, aparece la matem´atica indispensable para las necesidades del comercio.

132Estructuraci´on

332Yang es conocido, adem´as, por:

133El concepto de funci´on en Lagrange es as´ı:

333El ruso Faddeev (1980) acu˜n´o la expresi´on ecuaci´on de Yang-Baxter.

134iv. Axiomas de continuidad

334Hay problemas metaf´ısicos que surgen al considerar objetos matem´aticos y mundo f´ısico.

135iv. Continuidad (2 axiomas)

335Cabe, pues, disentir, o enfocar la situaci´on desde otro horizonte.

136Problemas

336El tercer pasaje tiene que ver con su concepci´on de la geometr´ıa.

137V. Epistemolog´ıa de funciones de una variable real

337Secuencia hacia el enfoque semi´otico de la matem´atica

138Problemas

338Metodolog´ıa de la aplicaci´on

139G´enesis

339Problemas en la aplicaci´on de la matem´atica

140es

340XV. Epistemolog´ıa de la aplicabilidad de la matem´atica

141Contin´ua el texto de Diofanto:

341Alemania

142Secuencia: hacia la estructura de grupo

342Australia

143Al elevar al cubo se obtiene:

343Estados Unidos

144−q

344Finlandia

145x =

345Francia

146n(cid:8)

346Holanda

147Francisco Vera transcribe en ´algebra cartesiana el razonamiento de Diofanto:

347Agnesi Mar´ıa Gaetana (1718–1799) Alberti Leone Battista (1404–1472)

148Pero puesto que 2 =

348Jap´on

149M´etodo

349Reino Unido

150Estructuraci´on

350Yule George Udny (1871–1951)

151Seis estructuras b´asicas en ´algebra

351Bibliograf´ıa

152´Algebra sobre un anillo

352, Topologie g´en´erale, Livre III, Fascicule de r´esultats, Hermann, Paris, 1953.

153Ejemplo: Las operaciones internas

353, Huellas en los encuentros de geometr´ıa y aritm´etica, Universidad Pedag´ogi-

154Teniendo la estructura de m´odulo, se puede construir la de ´algebra.

354, Nicolas Bourbaki and Contemporary Mathematics, The Mathematical Inte-

155Funci´on

355, M´ethode axiomatique et formalisme, Hermann, Paris, 1981. 196 pp.

156Problemas

356, Nicolas Bourbaki: Faits et l´egendes, Blanchard, 1995. 172 pp.

157El ´ultimo teorema de Fermat

357technique Albert Blanchard, 1980. 100 pp.

158donde el t´ermino en x2 no puede ser eliminado.

358The American Mathematical Monthly 86 (1979), no. 9, 740-747.

159as´ı, para la ´ultima pareja

359Editorial Gredos, 1989. 195 pp.

160C(n)e2πint.

360, Present Trends in Pure Mathematics, Advances in Mathematics XXVII

161x2 − ANBN.

361Mathematica XXII (1995), 227-261.

162Ahora, la situaci´on es as´ı:

362[133] P. Dugac, Jean Dieudonn´e: Math´ematicien Complet, ´Editions Jacques Gabay, 1995.

163El problema de los cuatro colores

363[140] A. Einstein, La relatividad, (1916), Grijalbo, 1970. 202 pp.

164Problemas

364Lecturas matem´aticas XV (1994), no. 2, 235-242.

165VII. Epistemolog´ıa del ´algebra lineal

365[157] J-L. Gardies, Le raisonnement par l’absurde, Presses Universitaires de France, 1991.

166G´enesis

366[163] K. G¨odel, Obras completas, Alianza Universidad 286, (1981) 1989. 469 pp.

167Enunciados que llevan el t´ıtulo de teorema:

367[195] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1977. xvi + 496 pp.

168M´etodo

368Ellipses, Paris, 1996. 382 pp.

169Se trata de saber el valor de x, y, z.

369[222] J. Hocking y G. S. Young, Topolog´ıa, Revert´e, MCMLXVI. 385 pp.

170det

370Mathematical Monthly LXXIX (February 1972), no. II, 133-136.

171puntos, el n´umero de coeﬁcientes de la ecuaci´on menos uno.

371[257] P. D. Lax, Mathematics and its Applications, The Mathematical Intelligencer 8

172Los cuatro art´ıculos son nombrados seg´un el orden de publicaci´on.

372The Mathematical Intelligencer 22 (2000), no. 2, 28-37.

173cuadr´aticas binarias f(x,y) =ax

373Soci´et´e Math´ematique de France (1998), S´eminaires Congr`es 3.

1742 + AnXn

374Section 7.

175M´etodo

375[300] J. S. Nicholson, A perspective on Wigner’s “Unreasonable Eﬀectiveness of Mathe-

176Funci´on

376, El valor de la ciencia, (1905), Espasa-Calpe, 1946. 173 pp.

177VII. Epistemolog´ıa del ´algebra lineal

377rican Journal of Mathematics XLIII (1921), 264-283.

178Problemas

378[334] Quine, Los m´etodos de la l´ogica, (1950), Planeta-Agostini, 1993. 367 pp.

179VIII. Epistemolog´ıa de la teor´ıa de conjuntos

379[338] R´ıbnikov, Historia de las matem´aticas, MIR, Mosc´u, (1974) 1987. 487 pp.

180En la ´ultima relaci´on hay igualdad si f es inyectiva.

380[347] G. N. Rubiano, Topolog´ıa general, Tercera edici´on, Universidad Nacional de Colom-

181G´enesis

381[368] H. Sinaceur, Modernit´e math´ematique: Quelques invariants ´epist´emologiques, Rev.

182M´etodo

382truction, Arch. Hist. Exact Sci. 5 (1968), 47-69.

183En estas condiciones, en los puntos de discontinuidad, la funci´on converge hacia

383[399] C. Villani, Th´eor`eme vivant, Bernard Grasset, 2012. 282 pp.

184l´ım h→0

384, Are These the Most Beautiful?, The Mathematical Intelligencer XII (Sum-

1852 y sus potencias mediante las sucesiones:

385Communications on pure and applied mathematics XIII (1960), 001-14.

1862 dado por una sucesi´on fundamental de segundo orden ([74], 42).

386xxiii + 345 pp.

187Bourbaki anota con admiraci´on la secuencia de trabajos de Cantor:

387Haydarabad, India, 2010.

188Cantor conjetura que hay igualdad: es la hip´otesis del continuo.

388´Algebra

189Dedekind contribuy´o con Cantor a la creaci´on de la teor´ıa de conjuntos.

389co, 9

190Problemas

390682 Consistencia, xxi Constante de Planck, 666 Constructivismo

191Hubo paradojas de la Antig¨uedad cl´asica ([63], 472-474).

391Journal de, 672

192Una de las versiones sencillas de la paradoja es la siguiente:

392Liouville, 628, 629

193Tambi´en impacta la declaraci´on ﬁnal de Skolem:

393649–711 Conceptos, 74–86 Funciones de una variable real, 253–

194Problemas

394Fermat, Samuel, 327

195VIII. Epistemolog´ıa de la teor´ıa de conjuntos

395Langlands-Shelstad, 30

196IX. Epistemolog´ıa de la topolog´ıa

396Journal de, 672

197Aportadores

397Paradoja

198Ulisse Dini (1845-1918). Italiano. An´alisis funcional. Convergencia uniforme.

398Descriptivas, 228 M´etricas, 228

199Secuencia de las sucesiones aproximantes

399Church, 498 Gorgias, 71 Tegmark, vi

200D2m L2m

400Torricelli, 182, 254, 266, 269–272 Transformaci´on M¨obius, 331

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