Length14h 27m
About this audiobook
El presente libro es un documento de análisis matemático orientado de manera innovadora para que a través de abundantes ejemplos y ejercicios, los lectores mismos puedan construir su propia teoría matemática del análisis. El libro abarca solamente los conceptos básicos de la materia, ofrece métodos adecuados para estudiar y para aumentar la creatividad académica. Se pretende además formar la capacidad para estudios posteriores, dominio de la parte fundamental del análisis.A pesar de que el contenido del primer capítulo (número de elementos de un conjunto), está incluido en el pensum del bachillerato, es aconsejable dar una lectura rápida del apéndice (sistemas numéricos) y del capítulo I antes de entrar al capítulo II. Generalmente la mayoría de los ejercicios colocados en la última parte de cada parágrafo y los ejercicios adicionales, son de nivel muy elevado.
Audiobook details
GenreScience and Nature
Length14 hrs 27 mins
Narrated byListen with 1,000+ voices
FormateBook with Audio
Publish dateJan 1, 2008
LanguageSpanish
Table of contents
1An´alisis Matem´atico
2281 x
2An´alisis Matem´atico / Yu Takeuchi. – Bogot´a : Universidad
2291 g
3´Indice general
230Ejercicio 67.
4i
2311 x
54.1. L´ımite por la derecha y l´ımite por la izquierda
2321 y 1 − sen y * &
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6Presentaci´on
2331 y
7Figura 1.1.
2341 x
81 x
2351 y
9(iii) Considerar la funci´on b : (0,1) → (−∞,∞) definida por
2361 x
10(i) Sea f la funci´on id´entica definida en A:
237Soluci´on.
11Ejemplo 3.
238Figura 3.36.
12Sea A un conjunto infinito.
239Demostaci´on.
13Figura 1.8.
240Figura 3.37.
14Ejemplo 5.
241III Otra demostraci´on por recubrimientos finitos.
15Definamos la siguiente aplicaci´on f :
242Sin perdida de generalidad se puede suponer que
16(ii) Caso general. Sean
243IV Demostraci´on por sucesiones.
171 n
244Ejercicio 72.
18Ejercicio 31.
245Ejercicio 75.
19Ejemplo 7.
2461 x
20Nota 3.
247Ejercicio 80.
21Tenemos:
2481 n
22Figura 1.10.
2493 n
23Hacemos corresponder a n el n´umero:
2502 n
24Sugerencia. α no es constante ´o β no es constante.
2511 n
25Ejemplo 1.
2522 n
261 es una cota superior de S ya que
253Ejercicio 83.
271 n
254| < δ = (cid:5) tenemos:
285 n
255Sea xo (cid:13)=
291 n
256Ejercicio 88.
302 es una cota superior, pegada al conjunto S (Figura
257Soluci´on.
312 es una cota superior de S.
258Sea
321 n
259Ver la figura 3.42.
33(considerando ε = 1).
260Ejercicio 93.
341 n
261Ejercicio 94.
35Nota 9.
262Ejercicio 95.
36Demostrar:
2631 x
37−a ≤ x (−a es una cota inferior de A).
2641 nπ
38Ejercicio 11.
2651 x
391 b
266Ejercicio 97.
401 x
267Tenemos
411 b
268Figura 3.44.
42Como una aplicaci´on del concepto de extremo superior, es f´acil demostrar que:
269Por lo tanto f es continua en Rp.
431 an
270Por lo tanto, ´ınf y∈S
44Ahora, supongamos que an < 2. Entonces
271Figura 3.45.
45Luego:
272i) Si f(S) ⊂ Rq, sea
461 a
2731 M − m
47√ (e) Sea n
274Soluci´on.
481 n
2751 m
49(ii)
2761 mk
50En (III):
2771 m
51, hallar el n-´esimo t´ermino de la siguiente reordenaci´on:
2781 qk
52Sugerencia.
279Sea Q = {y1,y2,y3,...} una ordenaci´on del conjunto Q, sean (cid:29)
53As´ı, la sucesi´on {bn} =
2801 k
54Ejemplo 4. (cid:10)
281)) (Nota: A(k) es abierto).
55Soluci´on.
2821 k
56Soluci´on. Sea {ank los sub´ındices:
2832 k
572.2. SUCESIONES NUM´ERICAS
284Ejercicio 114.
58Figura 2.15.
285Sea
59Figura 2.19.
286− f
60(xk + yk)2
287Y
61Si n es suficientemente grande
288l´ım x→a (x<a)
621 n
289Ejemplo 2. Sea
63Ejemplo.
290i) Si existe l´ım x→a
641 n
291Sea f una funci´on definida en una vecindad de a, demostrar que:
651 m
292Ejercicio 5.
661 n
293Ejercicio 8.
671 m
294Figura 4.12.
681 n
295Discontinuidad de una funci´on
691 m
296Ejercicio 12.
701 n
297Sugerencia.
711 m
2982 = (cid:5) para todo
721 n
2991 n
731 m
300Ejercicio 28.
741 n
301Tenemos:
751 m
3021 n
761 n
303Ejercicio 33.
771 m
304b) Si a1,a2,...,aN ∈ S, entonces
781 k
3054.2. DERIVACI´ON
791 n
306Hallar la derivada de f en 0:
801 k
3071 x
811 m
3080 xn − a
821 k
309Ejercicio 38.
831 m
3101 g
841 n
311B(a,δ) en donde f(x) (cid:13)= f(a). Tenemos
851 m
312Sugerencia.
861 k
313Ejercicio 44.
871 n
314(#) Nota
88(Un bosquejo de otra demostraci´on)
315Ejemplo 4.
891 As´ı que {0} ∪ n acumulaci´on de S.
3161 x
90Nota 18.
317Soluci´on.
91Figura 2.31.
3180 a
92i) En R1
319Sea
93Figura 2.35.
320Ejemplo 8.
94La expresi´on:
321Sea F(t) = f(x1) +
95Ejercicio 47.
322Tomando l´ımite cuando t → x+
96(Utilice el Ejercicio 47).
3232 se tiene:
97En ambos casos, se tiene que
324, definimos
981 n
325= +∞, existe a0 tal que
991 n 1 nk
3261 x
1001 m
3271 nπ
101Sugerencia.
3281 x
1021 nk(j)
3291 M
1031 q
330El error de aproximaci´on en (4.21) es:
1041 n
331R(x) g(x)
105Figura 2.42.
332Rn(x) =
106Ejercicio 55.
333La f´ormula de Taylor es un caso particular del siguiente teorema:
107|xn − yn| → b
334Aplicando primero el teorema del valor medio generalizado en el intervalo [a,x]
108Nota 28.
335[ii] Otra demostraci´on.
109Tenemos:
3361 x
1101 x
3371 x cos x
111Figura 2.49.
3381 x
112Ejercicio 58.
339Demostraci´on
1131 k
3401 t
114Bk = (0,1) es tambi´en abierta.
3411 x
115Ejemplo
342Ejercicio 77.
116Por ser {yn} acotada, existe una subsucesi´on convergente de {yn}, sea:
343= l´ım θ→0
1171 n no tiene puntos de S distintos de
344Ejercicio 82.
1181 n
3451 x
119Ejercicio 69.
3461 nπ
120Conjuntos abiertos en R1
3471 n
1211 n
348−e
122Aqu´ı daremos una demostraci´on directa de (iii).
3491 x − a
123entonces:
3501 a
124Soluci´on.
351(x2 + 1)n+1, demostrar que
125Sea S un conjunto, demostrar que ∂S ∪ S es cerrado.
352Sea f continua en [a,b], dos veces derivable en (a,b).
126(i) S = B(x0,δ), entonces
353Sean
1271 n
3541 x
1281 n | n ∈ N
3551 A
1291 n
3561 A a +
1301 m
3572 cos
1311 n
358Ejemplo 2.
132Sucesi´on decreciente de conjuntos cerrados.
359Ejemplo 3.
133(i) Supongamos que Fn es infinito para todo n, y demostrar que
360Figura 4.38.
134Ejercicio 87.
361Nota
1352 esta entre 1.4 y 1.5 o sea que
362Ejemplo 4.
1362 vemos que
363|Δkf|
1372 est´a entre 1.41 y 1.42 o sea que
364Hallar la variaci´on total de las siguientes funciones
1381 n
3651 f(ak) |Δkf|
139(i) Sea S =
3661 x
1402 n
367(b) Sabemos
1411 q
3681 n
1422 n
3691 k
143λ
3701 n
144Ak ⊃ S.
3711 k
145| n ∈ N
3721 x
1461 k
373Consideremos la siguiente partici´on de [0,1]:
1471 q
374Por lo tanto se tiene que:
148Ahora, veamos que S es cerrado.
375− f
149Ejemplos
3761 π
150Ejercicio 99.
3771 x
151Sk.
3781 kλ.
1521 n
379Vf
153Demostaci´on.
3801 kλ.
154, sea (cid:29)
381As´ı que
155Figura 2.86.
382Se ve que b es decreciente en [−1,0] y creciente en [0,2].
156, etc, por lo tanto
383Sean p(x) =
157x =
384{V (x)+f(x)+f(0)} entonces
158Al n´umero y le hacemos corresponder un n´umero:
385(b) Evidente ya que V (a) = 0.
159Figura 2.87.
386As´ı que
160| m,n ∈ N} no es relativamente cerrado en Q.
3871 x
161Ejemplo 5.
3881 x 1 y
1620 es cerrado, se tiene que
3891 y 1 y
1631 n
3901 y 1 x
164Ejercicio 117.
3911 y
165Sea S = {xn | n ∈ N}.
3921 x
166Figura 2.93.
3931 y
167As´ı sucesivamente podemos construir una familia de intervalos cerrados tales que
3941 x
168Para precisar este hecho se acostumbra utilizar (cid:5), y, δ como sigue:
3951 y
169), por
3961 x
1701 x
3971 y
1711 x + y
3981 x
172Adem´as existe δ tal que
3991 n
173Para el mismo (cid:5) ya escogido, existe δ2 tal que
400Ejercicio 133.
174o sea que tenemos (3.15).
401Ejercicio 134.
1751 x + y
402N´otese que g as´ı definida es creciente.
176Ejemplo.
403f (x)
177Soluci´on.
4045.1. N´umeros naturales
178Como 1 (cid:13)= −1, el l´ımite no existe.
405Ejercicio 2.
179Figura 3.7.
406Entonces:
180existe ya que
407Ahora consideremos el siguiente conjunto T:
1811 n
408Ejercicio 6.
182Ejercicio 11. Condici´on de Cauchy
409Ejercicio 10.
183Soluci´on.
410Ejercicio 17.
184|xn − a| < δ
411Comprobar que x =
1851 y
412Ejercicio 29.
186Sugerencia. 1)
4135.3. N´umero negativo y cero
1872 cos x cos y sen
414En el sistema ternario tenemos:
1881 e
415Soluci´on.
1891 N
416Esto es:
1901 e
417van acerc´andose al valor verdadero 1 3
191Figura 3.11.
418Demostraci´on.
192Definimos f∗ como sigue
419Nota
193Demostaci´on.
420Soluci´on
194Sea f una funci´on de valor real, continua en R1. Sean
421Ejemplo 4.
195Figura 3.15.
422Sea
196Ejercicio 29.
4230 ,a(2) La sucesi´on {a(1) (para todo n ≥ N0).
197Sea f definida por
424n1
198Figura 3.18.
425n#
1991 am/n
426En general, suponemos que hemos determinado los valores de x0,x1,...,xn tal que
200√ n
427= l´ım n→∞
201Pero
4281 n
2021 rn
4291 n 1 n
2031 asn
4301 n
204Soluci´on. Sea r ∈ Q, entonces
4312 es irracional, ver
205Ejemplo.
432Rec´ıprocamente, si x ∈
206Sea S cerrado en Rp, para todo x ∈ Rp definimos
4332 por medio de la intersecci´on
2072 Y
434Sea
208Sea f definida por (Figura 3.22) f(x) =
435Ejemplo 8.
2091 x
436Sea S =
210Tomar X2 =
437Sugerencia
211Sea f de D sobre R, demostrar que:
438Ejercicio 44.
212Demostaci´on.
439Figura 5.5.
213Ejemplo 11.
440Ejemplo 10.
214Y
441Sean (A,B) una cortadura de Z. Es decir:
215Sea f una funci´on de D(⊂ Rp) sobre R(⊂ Rq).
442Sea (A,B) una cortadura de R. Es decir
216Ejercicio 52.
443Aα ⊂ Ay.
217Demostaci´on.
444Soluci´on.
218yn ∈ f(X).
445Ejercicio 53.
219[ii] Demostraci´on por recubrimientos finitos.
446Ejercicio 55.
220Ejercicio 53.
447Ejemplo 11.
2211 x
448Ejercicio 60.
2221 a − δ
449Evidentemente:
223Como
450α∈S
224Figura 3.30.
4511 x
225N´otese que naturalmente δ depende de (cid:5).
4521 k
226Ejercicio 57.
4531 k + 2 a) F es un cubrimiento abierto de S.
2271 M
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