Science and Nature

Matemáticas básicas para economistas. Vol. 1. Álgebra lineal (Con notas históricas y contextos económicos)

By Sergio Monsalve

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Length20h 23m

About this audiobook

Una vez presentado el volumen 0 (Fundamentos) de Matemáticas básicas para economistas, el primer paso en la formación matemática de todo economista moderno es afrontar el estudio de aquellas herramientas que permiten abordar "problemas lineales"; es decir, de lo que hoy se llama álgebra lineal. Al plantearlo así, deciden tomar, como hilo articulador, la solución de un sistema de ecuaciones lineales, pues este problema, aparentemente simple, es el verdadero origen de una gran cantidad de conceptos e ideas del álgebra lineal: matriz, determinante, base, dimensión, etc. Y aunque el tratamiento formal de este texto lo podría asemejar a otros de este mismo nivel y objetivo, se diferencia de ellos en varios aspectos: en primer lugar, en la orientación que han dado a la conformación de las lecciones, alrededor de los sistemas de ecuaciones lineales, y el hacerlo siempre acompañado de su respectiva conexión geométrica. En segundo lugar, la presentación (en los "contextos económicos" de final de cada lección), de los más importantes modelos económicos lineales, que son aún hoy estudiados en las carreras de economía, así sólo sea, en algunos casos, para propósitos de fundamentación teórica (el modelo Walras-Cassel, el modelo de Leontief, el modelo de von Neumann, el modelo de Sraffa, el modelo IS-LM lineal, el modelo de juegos de von Neumann-Morgenstern, y el modelo de mercado competitivo de Koopmans); y, finalmente, las notas históricas que permiten, de cierta forma, trazar el devenir de los conceptos matemáticos y económicos que han desarrollado. Una observación pedagógica. Este texto ha sido elaborado, no pensando exclusivamente en los estudiantes de pregrado de economía; también es apropiado para estudiantes de maestría y doctorado. Sólo que en la presentación del material, al profesor o instructor le correspondería hacer el énfasis adecuado que mejor se adapte al curso o seminario que tenga a cargo.Adquiera también la colección completa de esta obra

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GenreScience and Nature

Length20 hrs 23 mins

Narrated byListen with 1,000+ voices

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Publish dateJan 1, 2009

LanguageSpanish

1MATEM ´ATICAS B ´ASICAS PARA ECONOMISTAS

260F2

2MATEM ´ATICAS B ´ASICAS PARA ECONOMISTAS 1

2611,0,1) son lineal-

3I. Monsalve G´omez, Sergio, 1962-, ed.

262Soluci´on

4Sistemas de ecuaciones lineales

263+ anxn

5Sistemas de ecuaciones lineales: soluci´on por matriz inversa 1. 2. 3.

264Si V =

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6El an´alisis insumo-producto de Leontief (1936)

265   este espacio?

7xiv

266R, S

8xvii

267R tal que ∈ forma una base para

9xviii

268Soluci´on

10Lecci´on 1

2693 x 1 y 5 z

113x

270F2

12En forma general, tenemos la siguiente deﬁnici´on:

271Demostraci´on

13am1x1 + am2x2 +

272Corolario 3

14Ejercicios 1

273Ejercicios 2

15F1 F2 F3

274es un conjunto

16F1), para obtener la siguiente matriz:

275Demostraci´on

171 10F2). El resultado es:

276Luego k2 =

186 y el resultado lo colocamos

277, entonces

19y

278, pues

20F2 F1

279Teorema 8. (Sobre matrices ortogonales)

21F3 F2

280Ejemplo 45.

22F2

281Ejemplo 46.

23z

282AAT, lo que demuestra que A es, efectivamente, una matriz ortogonal.

24+aknx∗n = bk y al1x∗1 +al2x∗2 +

283Ejercicios 3

253x

284, 1 √6 { es una base ortonormal para R3.

261 k

285+ t

27Sumando la segunda ﬁla y

286Ejemplo 51. Consideremos el sistema lineal

28Soluci´on Aplicando el m´etodo de eliminaci´on gaussiana a (11) obtenemos:

287a. El an´alisis insumo-producto de Leontief (1936)

29F1 F2 F3

288¯x2 = m´ın

30Aplicando el m´etodo de eliminaci´on gaussiana a (12) obtenemos:

289´o

31F2

290− 0.1)(1 es decir, p1, p2 son, aproximadamente, la mitad del salario.

323t = t

291P = w (In

331 Koopmans, Tjalling C. (1951), Activity Analysis of Production and Allocation, New

292Teorema 10. (Condiciones Hawkins- Simon) Si las entradas de la matriz

34nomy, Econometrica, vol. 22, 265-290.

2936Leontief, W. (1993), An´alisis econ´omico input-output, Madrid: Editorial Planeta.

354 Neisser, H. (1932), Lohnh¨ohe und Besch¨aftigungsgrad im Marktgleichgewicht, Welt-

294Ejercicios complementarios

365 Von Stackelberg, H. (1933), Zwei Kritische Bemerkungen zur Preistheorie Gustav

2952 2 − 17 3 − es combinaci´on lineal de las matrices

37terly Journal of Economics, vol. 52, 310-334.

296− b) En el espacio de las matrices M4 ×

381 c

2974, ¿ser´a que la matriz

391 f

298c) Los seis vectores anteriores

402 x

299β =

419 x

300R3 /y = z

423 x

301 26) Encuentre una base para la intersecci´on de los planos

436 z 4 z 1 z

302bienes.

443x

303Lecci´on 6

451 h

304Introducci´on

46Lecci´on 1: Eliminaci´on gaussiana

305Lecci´on 6: Transformaciones lineales

47Lecci´on 2

306Figura 3. Traslaci´on paralela de ejes

48+ anxn + b

307R2, k

49+ amnxn + bm

3081 la funci´on deﬁnida por

50Ejemplo 6.

3091)xn 1)xn

51Ejercicios 2

3101 r

52N

311(xcos φ = [x2 cos2 φ

53= [aij + (bij + cij )]

312Ejemplo 12.

54c. Multiplicaci´on de matrices

313Soluci´on

55Soluci´on

314 3, A, por identiﬁcar.

56Ejemplo 11. (En general, AB Calculemos AB y BA si

315R2 es deﬁnida por T(x,y ) =

57y B =

316P)N = 0 en R3 bajo la transformaci´on

58Soluci´on

317V tal que Im(T ).

593] de

318+ knαn

608] de A

319Ahora: de acuerdo con el teorema 3, se tiene que

61Demostraci´on

320Demostraci´on

62Ejemplo 12. (A(B+C)=AB+AC) Consideremos las siguientes matrices:

321,αn

63Entonces

322Por el m´etodo de eliminaci´on gaussiana obtenemos que

64 Por tanto, A(B + C ) = AB + AC.

323F3

65Ahora: tomando la matriz AB del ejercicio anterior se tiene que:

324R3 deﬁnida por

663 y

325{ Ahora: observemos que

67Soluci´on

326−→ 2z ), observemos que

68Ejercicios 3

327Nota 2.

691)A; etc.

328R2 deﬁnida por T(x,y ) = (2x

70Deﬁnici´on 10. (Operaciones ﬁla) Sea A una matriz m

329) se tiene que ·

71b) Sean

330V es un operador lineal y β =

72c) Sean

331Pj = [α′j ]β

73N

332R2 deﬁnida

74T

333Ejemplo 23.

75 T

334Si A =

76T

335Soluci´on Observemos que si c

77Ejemplo 18. ((AB)T = BTAT) Con las matrices

3364c c

78Ahora:

337An ]

79y AT =

3381 y

80Observemos que

339Ejemplo 25. El rango de la matriz

81donde

340Ejemplo 26. Encontremos el rango de la matriz 4

824 y la partimos de manera similar a

341Soluci´on

83de forma que

342F1 F2 F3 F4

84y

343Ejemplo 27. Encontremos el rango de

85Ejemplo 25.

344Soluci´on

86de forma que

345Interprete aqu´ı, geom´etricamente, la condici´on de que estas matrices sean similares.

87Soluci´on

346¿Cu´ales de ellas tienen rango completo?

887 y

347R4

89Soluci´on

348**11) Pruebe que si T : V

902, podemos buscar 3 en el cual encontraremos tambi´en el t´ermino que

349∈ − Adem´as, para todo par de escalares k, l

91Soluci´on Observemos que

3501 tambi´en es invertible y adem´as (T −

92Figura 4

351Es directa, y se deja como ejercicio para el lector. (cid:4)

93Soluci´on

352Isomorﬁsmos

94n

353Ejercicios 5

95Ejemplo 34. Calculemos el siguiente determinante:

354a. El modelo de equilibrio general de Von Neumann (1932)

96Anj

355nomy, Econometrica, vol. 22, 265-290.

97Ejemplo 38. Calculemos el determinante de la matriz

356; es decir, en “equilibrio”

98Figura 6. Volumen de un tetraedro

357= β, entonces (9) y (10) conforman un sistema de m+n

99Ejercicios 5

358; es decir, G1 →

100Demostraci´on

359vior, Princeton: Princeton University Press.

101 El determinante de AT es

360Ejercicios complementarios

102= 80 = detB

361Lecci´on 7

103Ejemplo 43. Calculemos el determinante de la matriz

362Introducci´on

104Soluci´on

363= 0 tal que

105Corolario 1

364Rn, k

106detA = det

365Rn, x

107= det

366R2

108+ det

3671 es el espacio

109Demostraci´on Sea

3686 es

110+ det

369Figura 1

111Demostraci´on

370N, con

112Ai2

371,kr(λr

113Bi+1,n

372Ejemplo 5.

114= 4 detA N

373; y as´ı

115El determinante de AB es 17( detAdetB.

374 ciado al valor propio λ1 = 1; x2 =

116a) El determinante de A es igual a

375; y as´ı

117= detA+detB.

376 y P −

118 324. Por tanto, det(A + B )

3771 λ

119¿Encuentra alguna caracter´ıstica particular en este determinante?

378Rn una transformaci´on lineal; sean λ1,...,λk (k

1201 a a2 b2 1 b c2 1 c

379(λ

1211 a

380R3 dada por la matriz

1221 c

381R3 determinada por la

123a. Primer modelo lineal formal en la teor´ıa econ´omica: sobre

382R3 determinada por la matriz

124o

3832 es

125y en este caso particular

384Ejercicios 2

126nes:

385Ejemplo 11. Diagonalizar la matriz sim´etrica

127cr

3862x3,x3). Haciendo

128( ··· bles independientes.

387Ejemplo 12. Encontremos una matriz ortogonal P que diagonalice la matriz

129De esto puede obtenerse que

388. La matriz ortogonal P tal que P − }

130Ejercicios complementarios

389+ a1nx1xn+ + a2nx2xn + + annx2 n

131(b + c)2 ab ac

390= XAXT

1320 b a

3912 = 1 puede escribirse como

133(aij

3923+4x1x2+4x2x3, tiene la forma XAXT

134, X

393Figura 3. Hiperboloide de dos hojas

1351A

394Q es deﬁnida positiva.

136AA

3953 y

137−1A N

396Teorema 10. (Otra caracterizaci´on de las formas cuadr´aticas)

1381 tambi´en es invertible y adem´as (A−

3971)n detA.

1391 detA

398Observemos que

1401 s´ı existe, pero es

399Ejemplo 21. La forma cuadr´atica Q = XAXT donde

1412z

400Ejemplo 22. La forma cuadr´atica Q = XAXT donde

142Soluci´on

401Ejercicios 4

143 d) Observemos que, en forma matricial, el sistema es

4022 = 1 a su forma can´onica

144, entonces

4034 Ver Hoﬀman y Kunze (1971), ´op. cit.

145= 0, la inversa de la matriz

4042)3, y su forma

1461 k

405duce cada “a˜no” la misma cantidad de mercanc´ıas.

147a1n a2n ... ann

406a(n

148Aqu´ı a A′ la llamaremos la matriz ampliada (o aumentada) de A.

407A su vez, el vector ﬁla de coeﬁcientes de trabajo, an, ser´a

149Ejemplo 4. Calculemos la inversa, si existe, de la matriz

408II). El sistema de precios

150Soluci´on

4091)pn

151F1 F2 F3

4101 indican los precios de las mercanc´ıas 1,2,...,(n

1523F2 obtenemos

411n = P

1531 21F3 con el ﬁn de obtener

4121 se obtiene

154y resolvamos el sistema

413v = (I

155[A

414an[I

156Luego

4151 n i=1 aij −

157F2

4161 n i=1 ai1pi −

1581 y mostrando que

417IV). El salario y el tipo de beneﬁcio

159x y z

418Figura 6

160Ejemplo 6. Encontremos la inversa de

419p = anw + (1 + π)anAw + (1 + π)2anA2w +

161[A

420V). El sistema de cantidades

162F1 F2 F3

4211, y que deﬁnimos como sigue:

163F2

4221)Qn 1)Qn

164Luego

4231)Qn

1651 y mostrando que

4241 que deben producirse para obtener las cantidades ﬁnales.

1661 existe:

425(a(n

1671 detA

426= Rn

1685 y

427R = Π

1691 detA 

428Ejercicios complementarios

170AdjA =

4291AP. Interprete geom´etri-

171Luego la soluci´on al sistema

430¿Bajo qu´e condiciones de a, b, c (si existen) es T diagonalizable?

172Soluci´on

4311AP para la matriz inversible

1731 detA

4329 Ver Hoﬀman y Kunze (1971), ´op. cit.

174An1 An2 ... Ann

433Introducci´on

175Si i

434C

176An1 An2 ... Ann

435Lecci´on 8: Conjuntos convexos

1771 detA

436C2. Luego, para λ

1784 y cuatro submatrices 2

4371, que es la parte interior de la elipse

179Tenemos que

438Rn, c

180As´ı, el determinante de la matriz particionada es

439R2/x

181Ejemplo 11. Encontremos la inversa de la matriz particionada

4400 y, otro, donde ax+by+c

182Con la notaci´on de arriba tenemos que

4410 y y

183Ejemplo 12. Encontremos la inversa de la matriz particionada

4421 Aunque publicadas en 1949.

184Aqu´ı, tenemos que

443Studies, vol. 4, 98-16.

1851 para

4441 h

186imputaci´on de von Wieser (1889)

4451 k

1871 Traducci´on del editor.

4461 k M P

188Ejercicios complementarios

44723 Weintraub, S. (1961), Classical Keynesianism: A Plea for its Abandonnment, Phila-

1891 cuando estas

44825 Davidson, P. (1972), A Keynesian View of Friedman’s Theoretical Framework for

190Lecci´on 3: Matriz inversa

449Jugador 1

191Lecci´on 4

4500 y

192Introducci´on

4512 de probabilidad de jugar cara; y 1

193Lecci´on 4: Vectores

452p

194Figura 4

453E(p,sello) = p(

195Figura 7. Espacio tridimensional R3

454E(p,cara),E(p,sello)

196Ejemplo 2.

455Por ejemplo, en el juego de tirar la moneda, se tiene que

1971 x

4562p + 1 har´ıa lo siguiente:

198Soluci´on

457As´ı, en el juego de tirar la moneda, donde

199Rn como una matriz 1

458, el problema se podr´ıa plantear, como en (

2001 traspuesta de la matriz y, y el producto de la

459London: W. Strahan.

201Ejemplo 5.

460Postulado 12 (Sobre la posibilidad de producci´on)

2022 k

46137 Allais, M. (1943), A La Recherche d’une Discipline ´Economique, Paris: Imprimerie

203Ejemplo 7.

46242 Von Mises, L. (1922), Socialism: An Economic and Sociological Analysis, Indianapolis:

204Demostraci´on Observemos que

4633 (Optimizaci´on y din´amica), lecci´on 2).

205. (¿En qu´e punto de la demostraci´on

464R2

2062 k

465R2/x

207Ejemplo 12. Calculemos el producto cruz de los siguientes vectores:

4661 h

2082 k

467Bibliograf´ıa

209Figura 24

468Dana, R. and P. Malgrange (1984): The Dynamics of a Discrete Version

2104k

469Edgeworth, F. (1881): Mathematical Psychics: An Essay on the Application

211Figura 26

470Hall, H. and S. Knight (1948): ´Algebra Superior. M´exico: Uteha.

212X = P + tN

471Oxford Economic Papers, vol. 2, 12–45.

213Figura 28

472Numbers”, Econometrica, vol. 4(1), 39–59.

214Soluci´on

473Producci´on. M´exico: Fondo de Cultura Econ´omica.

215− Soluci´on Tenemos N = −−−→P3P1×

474Pigou, A. C. (1920): The Economics of Welfare. London: Macmillan.

2168x

475(1932): Epistemological Problems of Economics. Princeton.

2171, pues

476Ejercicios 2.

218Ejercicios 4

477Ejercicios complementarios

219En cada caso, obtenga la ecuaci´on cartesiana.

4782ab

220p

479(cid:20) CTBTAT =

221a. El modelo de equilibrio general Walras-Cassel (1918)

480Ejercicios 5.

222Ax = r

481A se tiene que

223mercanc´ıas deben poderse escribir mediante las condiciones de equilibrio:

482Ejercicios complementarios

224ATv = p

483(A

225(Ley de Walras)

484Ejercicios 1.

2267 Ver Volumen 2 (C´alculo) y Volumen 3 (Optimizaci´on y din´amica).

485Ejercicios 2.

227Figura 35

486Ejercicios 3.

228N = 50Kg

4871 detB detP =

229. ¿Cu´al

4881 detP

230¿Cu´al puede ser ˜N?

489detB detP =

231(en el plano y en el espacio), y planos en el espacio.

490Ejercicios 1.

232W y (

491Ejercicios 2.

233Y que esto ´ultimo es as´ı, se ve enseguida:

492Ejercicios 3.

234R, entonces, como k1x1 + k2x2 +

493Ejercicios 4.

235= 0, entonces

494Ejercicios complementarios

236R forman un espacio vecto-

495F2k k

2371xn

496Ejercicios 3.

238a. Combinaciones lineales

497Ejercicios 4.

239R tales que

498Ejercicios complementarios

240La matriz aumentada de este sistema de ecuaciones lineales es:

499. La dimensi´on 1) }

241Aplicando el m´etodo de eliminaci´on gaussiana se tiene que:

500Ejercicios 1.

242es una combinaci´on lineal de las matrices

501Ejercicios 2.

243y C =

502i

2441xn

503Ejercicios 3.

245Nota 2. Podemos, adem´as, observar que:

5041AP donde P =

246R. Por tanto, W = R.

505Ejercicios complementarios

247= l(x0,y0 ) para todo l; entonces, si (x,y )

506= detA + detB.

248∈ R

507Lecci´on 7. Diagonalizaci´on en Rn Ejercicios 1.

249R

508Ejercicios 2.

2502,0,1), y resolviendo, por ejemplo, por el m´etodo gaussiano.

509Ejercicios 4.

251F1 F2

510. Esta forma cuadr´atica no es de nin-

252x1 x2 x3 x4

511Ejercicios 5.

253a1n a2n ... amn

5121AT = P

254Deﬁnici´on 5. (Dependencia e independencia lineal)

5131)x k

255Figura 4

5140 y r

256Figura 5

515Ejercicios complementarios

257Soluci´on

516´Indice alfab´etico

258La matriz aumentada de este sistema es

517Bloque Jordan can´onico, 320

259Utilizando el m´etodo de eliminaci´on gaussiana tenemos que

518´Indice alfab´etico

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